soal vektor

Dariska avilda

X MIPA 3

Untuk lebih memahami materi vektor, mari kita pelajari soal-soal berikut.

Materi kita kali ini adalah vektor. vektor merupakan materi matematika peminatan kelas 10, yang sudah kita ketahui materi vektor tidaklah mudah itu kita harus belajar lebih giat dan mendalaminya lagi

Vektor adalah sebuah besaran yang memiliki arah. Vektor juga dapat digambarkan sebagai panah yang menunjukan arah vektor dan panjang garisnya disebut juga Besar Vektor.

Vektor satuan dapat dinyatakan dalam kordinat dua dimensi maupun tiga dimensi. Jelaskan pengertian yang kamu ketahui dari vektor dalam dua dimensi atau tiga dimensi...
Jawab:

Untuk koordinat 2 dimensi (x,y), suatu vektor misal P dapat dinyatakan dengan notasi: P = Pxi + Pyj, Besar vektor P dapat ditentukan dengan rumus atau persamaan sebagai berikut: |P| = √(Px2 + Py2).

dalam sistem koordinat tiga dimensi (x,y,z), vektor P tersebut dapat dinyatakan dengan notasi sebagai berikut: P = Pxi + Pyj + Pzk, Untuk menghitung besar atau nilai vektor pada koordinat tiga dimensi dapat digunakan rumus atau persamaan berikut ini: |P| = √(Px2 + Py2 + Pz2).

2. Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara

menjumlahkan komponen yang seletak. Jika $\vec{a} = \left(\begin{array}{r} a_1\\ a_2\end{array}\right)$ dan $\vec{b} = \left(\begin{array}{r} b_1\\ b_2\end{array}\right)$

maka:

Jawab :

$\vec{a} + \vec{b} = \left(\begin{array}{r} a_1+b_1\\ a_2+b_2\end{array}\right)$

Penjumlahan secara grafis dapat dilihat pada gambar dibawah:

3. Diketahui titik A(2,4,6), titik B(6,6,2), dan titik C(p,q,-6). Jika titik A, B, dan C

segaris maka tentukan nilai p+q :

Jawab :

Jika titik-titik A, B, dan C segaris maka vektor $\bar{AB}$ dan vektor $\bar{AC}$ bisa

searah atau berlainan arah. Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan

sebuah kelipatan dan membentuk persamaan

$m.\bar{AB} = \bar{AC}$

Jika B berada diantara titik A dan C, diperoleh:

$\bar{AB} + \bar{BC} = \bar{AC}$

sehingga:

$\bar{AB} = \left(\begin{array}{r} 6-2\\ 6-4\\ 2-6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$

$\bar{AC} = \left(\begin{array}{r} p-2\\ q-4\\ -6-6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} p-2\\ q-4\\ -12\end{array}\right)$

Maka kelipatan m dalam persamaan:

$m.\bar{AB} = \bar{AC}$

$m.\left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ -4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} p-2\\ q-4\\ -12\end{array} \right)$

$-4.m = (-12) \rightarrow m = 3$

Diperoleh:

$2.m = (q - 4) \rightarrow 6 = (q - 4)$
$q = 10$
$4.m = (p - 2) \rightarrow 12 (p - 2)$
$p = 14$

disimpulkan:

p+q=10+14=24

4. Diketahui vektor

. Jika vektor u ⃗ tegak lurus pada v ⃗

maka nilai a adalah...

Jawab :

   (a – 1)(a – 1) = 0
      a = 1

5. Diketahui vektor Proyeksi

vektor orthogonal vektor a ⃗ pada vektor b ⃗ adalah ...

Jawab:

6. Diketahui titik A(2, 7, 8); B(-1, 1, -1); C(0, 3, 2). Jika (AB) ⃗ wakil u ⃗ dan

(BC) ⃗ wakil v ⃗ maka proyeksi orthogonal vektor u ⃗ dan v ⃗ adalah ...

       Jawab:

      Rumus untuk mencari proyeksi orthogonal vektor u ⃗ dan v ⃗ adalah:

Proyeksi orthogonal vektor u ⃗ dan v ⃗ adalah:

7. Diketahui titik P (2, 7, 8) dan Q(-1, 1, -1). Titik R membagi PQ di dalam

dengan perbandingan 2 : 1 panjang (PR) ⃗ = ...

Jawab:

        Kita gambarkan soal di atas dalam ilustrasi berikut:

       Vektor R = ( 2 . vektor Q + 1 . vektor P ) : (2 + 1)
= (2 ( -1, 1, -1 ) + 1 ( 2, 7, 8 )) : 3
= (( -2, 2, -2 ) + ( 2, 7, 8 )) : 3
    = ( 0, 9, 6 ) : 3
= (0, 3, 2)
      Maka, (PR) ⃗ = (2 – 0, 7 – 3, 8 – 2)
      = (2, 4, 6)

8. Jika diketahui nilai $\left| p \right| = 2$ , $\left| q \right| = 3$ , dan $\left| p - q \right| = \sqrt{7}$ maka nilai 2pq adalah...

Jawab:

$\left| \vec{p} - \vec{q} \right| = \sqrt{7}$

$\left| \vec{p} - \vec{q} \right|^{2} = 7$

$\left| \vec{p} \right|\left| \vec{p} \right| - 2 \left| \vec{p} \right|\left| \vec{q} \right| + \left| \vec{q} \right|\left| \vec{q} \right| = 7$

$2 \cdot 2 - 2 \vec{p} \vec{q} + 3 \cdot 3 = 7$

$4 - 2 \vec{p} \vec{q} + 9 = 7$

$2 \vec{p} \vec{q} = 9 + 4 - 7$

$2 \vec{p} \vec{q} = 6$

9. Diketahui titik A (2,-1,1), B (1,0,3), C (p,1,3), dan D (-1, q, r). Jika

maka tentukan:

A. Koordinat titik C dan D

B. nilai p + q + r

Jawab:

a.

10. Titik sudut segitiga PQR adalah P(3, 0, 6), Q(0, –3, –3), dan R(1, 0, –4). Titik A membagi PQ di

dalam dengan perbandingan 1 : 2. Titik B merupakan titik yang berada di tengah – tengah ruas

garis PR. Sedangkan titik C membagi QR di luar dengan perbandingan 2 : 1. Nilai perbandingan

panjang AB : BC adalah ….

Jawab:

Ilustrasi segitiga pada soal dapat dilihat pada gambar di bawah.

Mencari titik koordinat A:

$A = \frac{ 2 \left( 3, 0, 6 \right) + \left( 0, 3, -3 \right)}{2 + 1}$

$A = \frac{ \left( 6, 0, 12 \right) + \left( 0, 3, -3 \right)}{3}$

$A = \frac{\left( 6 + 0, 0 + 3, 12 + (-3) \right)}{3}$

$A = \frac{ \left( 6, 3, 9 \right)}{3}$

$A = \left( 2, 1, 3 \right)$

Mencari titik koordinat B:

$B = \frac{ \left( 3, 0, 6 \right) + \left( 1, 0, -4 \right)}{1 + 1}$

$B = \frac{ \left( 3 + 1, 0 + 0, 6 + (-4) \right)}{2}$

$B = \frac{ \left( 4, 0, 2 \right)}{2}$

$B = \left( 2, 0, 1 \right)$

Mencari titik koordinat C:

$C = \frac{ 2 \left(1, 0, -4 \right) + (-1) \left( 0, 3, -3 \right)}{2 - 1}$

$C = \frac{ \left(2, 0, -8 \right) + \left( 0, -3, 3 \right)}{1}$

$C = \frac{ \left( 2 + 0, 0 - 3, -8 + 3 \right)}{1}$

$C = \frac{ \left( 2, -3, -5 \right)}{1}$

$C = \left( 2, -3, -5 \right)$

Menghitung panjang AB:

$AB = B - A$

$AB = \left( 2, 0, 1 \right) - \left( 2, 1, 3 \right)$

$AB = \left( 2 - 2, 0 - 1, 1 - 3 \right)$

$AB = \left( 0, - 1, - 2 \right)$

$\left| AB \right| = \sqrt{ 0^{2} +(-1)^{2} + (-2)^{2} }$

$\left| AB \right| = \sqrt{ 0 + 1 + 4 }$

$\left| AB \right| = \sqrt{ 5 }$

Menghitung panjang BC:

$BC = C - B$

$BC = \left( 2, -3, -5 \right) - \left( 2, 0, 1 \right)$

$BC = \left( 2 - 2, -3 - 0, -5 - 1 \right)$

$BC = \left( 0, - 3, -6 \right)$

$\left| BC \right| = \sqrt{ 0^{2} +(-3)^{2} + (-6)^{2} }$

$\left| BC \right| = \sqrt{ 0 + 9 + 36 }$

$\left| BC \right| = \sqrt{ 45 }$

$\left| BC \right| = \sqrt{ 9 \times 5 }$

$\left| BC \right| = \sqrt{ 9} \times \sqrt{ 5 }$

$\left| BC \right| = 3 \sqrt{ 5 }$

Sehingga, perbandingan AB : BC adalah

$\frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{5}}{3 \sqrt{5}}$

$\frac{AB}{BC} = \frac{1}{3}$

$AB : BC = 1 : 3$

11.  Andi sedang bepergian mengelilingi kota Bandung dengan sepeda motor. Dua jam
      pertama, Andi bergerak lurus ke timur dan menempuh jarak sejauh 50 km.                setelah istirahat secukupnya, Andi kembali melanjutkan perjalanan lurus ke timur
      sejauh 30 km lagi. Tentukan besar dan arah resultan perpindahan Andi!

Jawab:

      Diketahui
      perpindahan A = 50 km arah timur
      perpindahan B = 30 km arah timut
      maka R = |A + B|
      R = |50 + 30| = 80
     Jadi resultan perpindahan Andai adalah 80 km ke arah timur

12.  Jika A = (3,2,1) , B = (0,1,2) dan C = (1,-1,3) , maka Luas segitiga ABC adalah…

Jika A = (3,2,1) , B = (0,1,2) dan C = (1,-1,3) , maka Luas segitiga ABC adalah… Mine coins - make money: http://bit.ly/money_crypto Mine coins - make money: http://bit.ly/money_crypto

Mine coins - make money: http://bit.ly/money_crypto

  Jawab:

https://istanamengajar.files.wordpress.com/2013/12/vektor1.jpg

13. Jika

dan

, maka berapakah

Jawab:

14. Diketahui 3 vektor yang dinyatan dengan persamaan seperti di bawah.

$\vec{a} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j}$

$\vec{b} = - \hat{i} + 4 \hat{j}$

$\vec{r} = 7 \hat{i} - 8 \hat{j}$

Jika vektor r dinyatakan dalam persamaan $\vec{r} = k \vec{a} + m \vec{b}$ , maka nilai k + m adalah ….

Jawab:

$\vec{r} = k \vec{a} + m \vec{b}$

$7 \hat{i} - 8 \hat{j} = k \left( 3 \hat{i} - 2 \hat{j} \right) + m \left( - \hat{i} + 4 \hat{j} \right)$

$7 \hat{i} - 8 \hat{j} = 3 \hat{i} k - 2 \hat{j} k - \hat{i} m + 4 \hat{j} m$

$7 \hat{i} - 8 \hat{j} = 3 \hat{i} k - \hat{i} m - 2 \hat{j} k + 4 \hat{j} m$

$7 \hat{i} - 8 \hat{j} = \left( 3k - m) \right) \hat{i} + \left( -2 k + 4 m \right) \hat{j}$

Berdasarkan persamaan di atas dapat diperoleh dua persamaan yaitu,

$7 \hat{i} = \left( 3k - m) \right) \hat{i} \rightarrow 3k - m = 7$

$- 8 \hat{j} = \left( -2 k + 4 m \right) \hat{j} \rightarrow -2k + 4m = -8$

   Selanjutnya, kita dapat menentukan nilai k dan m berdasarkan dua persamaan di atas.

    Mencari nilai k:
    Proses Substitusi Untuk Mencari nilai vektor k

Proses Substitusi Untuk Mencari nilai vektor k

Mencari nilai m:
Proses substitusi nilai m pada vektor

Jadi, nilai k + m = 2 + $(-1)$ = 1.

15.

https://rumusrumus.com/wp-content/uploads/2017/03/rumus-penjumlahan-dan-pengurangan-vektor.jpg

16.   Vektor-vektor u, v, dan w tak nol dan | u | = | v |, Jika | v-w | = | u-w | maka…
        A. u.v = | w |
        B.     $w=\frac{2u+3v}{5}$
       C. | u-w | = | v |
       D. u – v tegak lurus w E. u + v tegak lurus w

      Jawab:

     Diketahui: | v – w | = | u – w | Kedua sisi di akarkan $\sqrt{(v-w)^2}=\sqrt{(u-w)^2}$ v.v + w.w –
     2v.w = u.u + w.w – 2 u.w |v|² + |w|² – 2v.w = |u|² + |w|² – 2u.w
     Dari soal diketahui | u | = | v | maka v.w = u.w u.w – v.w = 0 (u.w).w = 0 Karena perkaliannya = 0 maka (u-v) tegak lurus w.

17.  Diketahui $\vec{u}=\begin{pmatrix} 3\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}$ dan vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix} 2\\ p\\ 2 \end{pmatrix}$ . Jika proyeksi skalar orthogonal $\vec{u}$ pada arah vektor $\vec{v}$ sama dengan setengah panjang vektor $\vec{v}$ maka nilai p = …

     Jawab :